En este seminario estudiaremos el cálculo como lo concibieron los principales desarrolladores del mismo (Newton, Leibniz, L'Hospital y los hermanos Johann y Jacob Bernoulli). Con la invención del cálculo se creo un nuevo tipo de matemática con tales posibilidades que sus desarrolladores fueron capaces de resolver más problemas matemáticos considerados importantes que en toda la historia previa de la matemática. El cálculo cambió la forma en que los matemáticos concibieron y visualizaron su actividad intelectual, y cambió el curso y la naturaleza de la matemática a partir de su invención independiente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Lo que más sorprende a los estudiosos de la historia de la matemática es, quizás, la magnitud del caudal de resultados obtenidos con la aplicación del cálculo, magnitud de tales proporciones que no se exagera cuando se dice que casi la totalidad de temas tratados en los primeros tres cursos de cálculo de las universidades modernas (al menos en la mayoría de las universidades en Puerto Rico y los Estados Unidos) fueron desarrollados por los matemáticos nombrados anteriormente. Por ejemplo, los personajes principales del cáculo conocían las dos versiones modernas del teorema fundamental del cálculo, cada una de las cuales pone de manifiesto la naturaleza inversa de los procesos empleados para el cálculo de derivadas y el cálculo de integrales. También en esta época de gloria de la matemática se desarrolló la teoría de optimización de funciones y se propusieron los criterios modernos para el cálculo de máximos, mínimos, la concavidad de funciones, los puntos de inflexión y el crecimiento de funciones definidas en intervalos.
Aunque los cálculos de Newton y de Leibniz, ambos empleaban los infinitésimos (cantidades infinitamente pequeñas) el cálculo de Newton, a diferencia del de Leibniz, se guiaba por dos "metáforas cinemáticas". Decía Newton que los problemas centrales que le movían a desarrollar su teoría de fluxiones eran dos: la determinación de la trayectoria de un móvil cuya velocidad se conocía en cada instante (problema de la integral) y la determinación de la velocidad de un móvil cuando se conoce la posición del mismo en cada instante de su movimiento. Leinbiz, a cambio, empleó los infinitésimos constantemente, y a pesar de entender a cabalidad las limitaciones lógicas de su empleo, siempre manifestó su deseo de que se siguieran empleando en los razonamientos del cálculo ya que en algún momento tales dificultades serían superadas. Leibniz nunca pudo imaginar, desde luego, el gran drama que significaría para la historia de la matemática la dilucidación de tales dificultades.
Es curioso que todo esta profusión de conocimiento se logró sin que se tuviese una idea clara de lo que es un número real. Es importante señalar que desde los comienzos del cálculo en el siglo XVII (se dice que ya Newton trabajaba en su cálculo, llamado teoría de fluxiones, desde el año 1666 y Leibniz, trabajó independientemente en el suyo en 1675, aunque ambos publicaron sus resultados décadas más tarde) hasta que se formulan los primeros resultados de Bolzano y Cauchy respecto a la estructura moderna de los números reales alrededor del 1821, transcurrió más de un siglo. Valga decir que el trabajo matemático de Bolzano y de Cauchy fue el resultado de las incertidumbres que surgieron en la presentación de los resultados del cálclulo de Newton y Leibniz en términos de los famosos infinitésimos, tan criticados por el obispo George Berkeley en la misma época de Newton y Leibniz. Luego del trabajo de Cauchy, Bozano y otros matemáticos como Cantor, Weierstrass Dedeking, Méray y Heine, el cálculo quedó cimentado sobre las bases lógicas que lo caracterizan hoy día.
Sin embargo, en el siglo XX, el matemático alemán norteamericano de la Universidad de Yale, Abraham Robinson (Octubre 6, 1918 -Abril 11, 1974) inventó un sistema numérico nuevo, llamado el sistema de los números hiperreales, en el cual coexisten los números reales de Cauchy y Bolzano con los infinitésimos de Newton y Leibniz. Esta rama de la matemática se conoce como el análsis no-estándar, y a partir del establecimiento de esta discilplina, los números reales se han pasasdo a conocer como los números estándar del sistema de los números hiperreales. Una de las grandes ventajas que nos proporciona el formalismo de Robinson es, entre otras, que nos permite presentar los razonamientos de Newton, Leibniz y el resto de los desarrolladores del cálculo empleando infinitésimos, de suerte que los argumentos son correctos y fieles a las intuiciones matemáticas del siglo XVII. Hoy día podemos dar una lectura al trabajo de Euler mientras enmarcamos sus argumentos en un formalismo lógico robusto y, sobre todo, correcto.
Por todo lo expuesto anteriormente, se podrían esgrimir argumentos muy efectivos para sostener que los infinitésimos constituyen un vehículo conoscitivo para el desarrollo del cálculo que tiene ventajas evidentes y que permite la visualización de las ideas del cálculo con una gran claridad. Esta es, a nuestro juicio, la gran lección a derivar del la historia del cálculo. En este esfuerzo enmarcaremos el desarrollo de este seminario.
O. Hernández y J.M. López, agosto 12, 2009 en San Juan de Puerto Rico
Mi interés sobre los números racionales y los irracionales tiene que ver con el supuesto de que para entener el cálculo el estudiante tiene que entender el conjunto de números reales. Sabemos que el problema de la existencia de los números irracionales ha tenido muchos acercamientos y que generalmente han predominado los que utilizan la geometría. Sin embargo, para la compresión del concepto y su posterior uso sería mejor el acercamiento que tu haces (aunque también es un proceso cognitivamente complejo).
ResponderEliminarCreo que el análisis de la génesis del concepto de número irracional es un buen inico para el curso. Es posible que cuando se estudia por primera vez el concepto de número irracional, también sea la primera vez que el estudiantes se está enfrentando al concepto de "infinito". De todas maneras estos procesos infinitos son inevitables para la definición de número irracional. La pregunta sería ¿Cuál es la estructura cognitiva de los estudiantes previa a la introducción de los núeros irracionales? ¿Qué conflictos cognitivos impide que se de el aprendizaje? Aquí defino conflicto cognitivo como el conocimeinto que tiene el estudiante (por ejemplo, que todo número se puede representar de la forma a/b con b<>0) y que de una forma u otra se convierte en un impedimento para el nuevo concepto.
Es decir, qué conoce el estudiante y qué parte de ese conocimiento impede el nuevo. El paralelismo con la historia, desde este punto de vista, es evidente. Qué sabian los matemático y que parte de ese conocimiento impedia el desarrollo del nuevo.
Omar
Siguiendo con la discusión de los obstáculos cognitivos (conocimiento que tiene el estudiante y que impide la adquisición del nuevo conocimiento), presento el caso de la cardinalidad de los conjuntos numéricos.
ResponderEliminarEl obstáculo en este caso es "si A es subconjunto propio de B entonces el número de elementos (la cardinalidad) de A es menor que la cardinalidad de B". Esta afirmación es cierta para los conjuntos finitos. Intuitivamente el estudiante puede llegar a esta conclusión.
Para los estudiantes es difícil comprender que los naturales, los enteros y los racionales tienen la misma cardinalidad. La contradicción se encuentra en que la cantidad de enteros es mayor que la de naturales y de igual forma la cantidad de racionales es mayor que la enteros. De hecho son subconjuntos propios.
La diferencia es que son conjuntos infinitos.
Los maestros deben tener mucho cuidado al explicar la cardinalidad y presentar diferentes ejemplos de las biyecciones de los subconjuntos a los conjuntos.
Félix Klein trató este tema en su libro Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint y que se puede encontrar en Google Books. A propósito, con motivo de los 100 años de la publicación del libro, el ICMI patrocinó el proyecto Klein y pronto publicará los resultados de la comisión que trabajó en este proyecto. Para más información pueden consultar la páginade Internet http://www.mathunion.org/index.php?id=818.
Según lo discutido en la clase del miércoles, 9 de septiembre de 2009:
ResponderEliminarPara mí:
Las matemáticas...
Es un sistema de destrezas y conocimientos (abstractos y concretos)de cantidades y espacios aplicados en la vida diaria que son necesarios para el desarrollo y subsistencia de una civilización.
¿Que hace un matemático?
Enriquece teorías con resultados abstractos.
Publica investigaciones evidenciando resultados.
Puede dedicarse a la docencia.
¿Cuál es el objeto de estudio de las matemáticas?
Propiedades de lo abstracto y lo concreto, de datos ideas y modelos.
En esta clase se comentó de la importancia de las matemáticas en nuestras vidas, de matemáticos y docentes. Las aportaciones de las matemáticas son ilimitadas, pues se seguirá investigando sobre esta gran disciplina.
Para mí, la matemática puede ser una rama de la ciencia, como lo explican muchas referencias econtradas, donde la rigurosidad de la estructura de la matemática (de lo sencillo a lo complejo) se compara como una ciencia. No obstante, la matemática goza de un fuerte carácter de exactitud, de lo que a veces a muchas ciecias carecen. Las ciencias recurren a la matemática para fundamentar sus teorias e investigaciones, como lo suele hacer la biología y la química de la física. La física necesita más de las matemáticas que cualquier otra cíencia desde geometría proyectiva hasta el cálculo diferencial, entre otras ramas de la matemática. Un caso famoso, por comentar uno, lo fue el caso de Albert Einstein con su teoría de la relatividad. Las teorías del espacio (o universo) carence de validez sin una base sólida, críble y (por supuesto)exacta de las matemáticas.
Hay casos en las matemáticas que son difíciles de explicar y conceptualizar. Poseer capacidad para explicar muchos conceptos matemáticos requiere de mucho dominio de los procesos del aprendizaje del humano. Adquirir esta capacidad puede ser bien desarrollada como también en algunos podría ser innato. También, concocer sobre los procesos inherentes al cerebro humano en esta actividad ayuda, aún más, al proceso de enseñanza y aprendizaje. La educación en matemáticas, como también la neurociencia, es la rama que mejor se adentra en este proceso. Existen numerosas investigaciones pedagógicas que respaldan las mejores maneras de aprender y enseñar algo nuevo en matemácias, así como redefinir algo ya aprendido.
Qué hace un matemático? Un matemático se encarga de investigar y formalizar, con el lenguaje de las matemáticas, los modelos teoricos que surgen en las ideas o en la naturaleza, de tal manera que tengan validez y aplicabilidad en otras ramas de la ciencia.
ResponderEliminarLos matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones, estas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.
Como se crea el conocimiento matemático? Se crea con la investigacion del problema existente, tratando de adaptar y aplicar la teoria matematica a la solucion del mismo, surgiendo de esto, casi siempre, nuevas teorias y resultados matematicos.
Cual es el objeto de estudio de las matematicas? las matematicas, a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones de los entes abstractos como números, figuras geométricas, símbolos, etc.
¿Qué son las matemáticas?
ResponderEliminarSi no me equivoco, una de las preguntas que teníamos que contestar era si la matemática era ciencia o era arte. Para mí las matemáticas son una exquisita mezcla de ambas disciplinas. El arte requiere de la observación, de la abstracción y de la interpretación. Las matemáticas también requieren de estas destrezas. La ciencia utiliza métodos, experimentación, demostraciones. . . Las matemáticas pueden encajar fácilmente con la ciencia. Siempre pensé que las matemáticas eran perfectas como el Dios de las ciencias, pero cuando estudiaba matemáticas avanzadas y profundizaba me preguntaba si de todo lo que había creído era cierto. Los matemáticos observan patrones, hacen conjeturas, experimentan, se equivocan, buscan las razones de las equivocaciones y de las verdades, tratan de simplificar lo complejo, descubren y teorizan. Uno de los pensamientos que resume perfectamente lo que creo que son las matemáticas es de Galileo Galilei: "Las matemáticas son el abecedario con el cual Dios escribió el Universo." Los matemáticos seguirán investigando los misterios de la vida. (Ven las matemáticas son hasta poéticas)
¿Qué hace un matemático?
ResponderEliminarPara mi un matemático se ocupa de enriquecer el área de la matemática que a él le interese. El enriquecimiento lo logra por medio de investigaciones, las cuales se pueden generalizar en teorías o en nuevas incógnitas. También comprendo que parte de lo que hace un matemático es adentrarse en áreas del contenido abstractas que sólo un individuos con un dominio amplio y claro puede entender.
¿Qué es matemática?
Para mi la matemática es una ciencia que trata de explorar y entender ciertos fenómenos naturales o abstractos mediante el uso de reglas o propiedades de números y figuras (por ejemplo figuras geométricas).
¿Cuál es el objeto de estudio en la matemática?
De acuerdo a mi definición, mencionada anteriormente, considero a los fenómenos naturales o abstractos como el objeto de estudio de la matemática.
REFLEXIÓN
ResponderEliminar¿Qué hace un matemático?
El quehacer matemático se remonta a siglos atrás en donde el inquirir, el pensar y el repensar era la práctica de los filósofos y los científicos que buscaban dar respuestas a los interrogantes que continuamente les surgían con el propósito de conocer y descubrir El Universo y tener además las herramientas para hacerlo, entre ellas la Matemática.
Se tiene conocimiento de los trabajos de Aritmética, Geometría y Algebra realizados por los Egipcios, Babilonios y Griegos, mas adelante aparecen los trabajos de los Hindúes y de los Chinos. En el Siglo III, se tiene a Euclides con su libro Elementos que ha sido estudiado hasta nuestros siglos.
Ya para finales del siglo XIX según hace mención en su libro de Didáctica de la Matemática, D’Amore (2006, pp. 35 – 40), aparece el uso de las palabras Pedagogía Matemática refiriéndose a la enseñanza de la Matemática o como lo diría Brousseau, G. (1991) a las técnicas para enseñar Matemática, nótese que se habla de enseñar Matemática no se hace referencia a enseñar a hacer matemática. Comúnmente, el estudiante no vive la experiencia que vive un matemático cuando hace matemáticas, los contenidos curriculares de matemáticas están como su nombre lo dice llenos de contenidos, que durante el año académico se espera se cubran; el espacio y la oportunidad de vivir experiencias haciendo matemática no se tienen ni se ofrecen.
Hoy en día, los matemáticos se ocupan de resolver problemas propuestos, de abstraer, inventar y probar según lo dice Rosa Maria Farfán en su artículo de Perspectivas y métodos de investigación en Matemática Educativa (Cinvestav, 1997, p. 82). Yo le añadiría que los matemáticos se ocupan en buscar problemas a las soluciones de problemas ya encontrados y en su búsqueda, surgen interrogantes y porque no decirlo, soluciones a problemas interesantes que provocan y abren caminos al estudio de nuevas especialidades dentro de la misma Matemática. El quehacer del matemático, está representado en un trabajo continuo, persistente, abstracto y de seguro con grandes satisfacciones.
Brousseau, G. (1991). ¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la
Didáctica de las Matemáticas? Enseñanza de las ciencias: Revista de
Investigación y experiencias didácticas, 9(1), 1-21.
D’Amore, B. (2006). Didáctica de la Matemática. Cooperativa Editorial Magisterio,
Bogotá, Colombia.
Cinvestav – IPN. (1997). Programa Editorial. Serie: Antologías. Numero 2. México, D.F.