En este seminario estudiaremos el cálculo como lo concibieron los principales desarrolladores del mismo (Newton, Leibniz, L'Hospital y los hermanos Johann y Jacob Bernoulli). Con la invención del cálculo se creo un nuevo tipo de matemática con tales posibilidades que sus desarrolladores fueron capaces de resolver más problemas matemáticos considerados importantes que en toda la historia previa de la matemática. El cálculo cambió la forma en que los matemáticos concibieron y visualizaron su actividad intelectual, y cambió el curso y la naturaleza de la matemática a partir de su invención independiente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Lo que más sorprende a los estudiosos de la historia de la matemática es, quizás, la magnitud del caudal de resultados obtenidos con la aplicación del cálculo, magnitud de tales proporciones que no se exagera cuando se dice que casi la totalidad de temas tratados en los primeros tres cursos de cálculo de las universidades modernas (al menos en la mayoría de las universidades en Puerto Rico y los Estados Unidos) fueron desarrollados por los matemáticos nombrados anteriormente. Por ejemplo, los personajes principales del cáculo conocían las dos versiones modernas del teorema fundamental del cálculo, cada una de las cuales pone de manifiesto la naturaleza inversa de los procesos empleados para el cálculo de derivadas y el cálculo de integrales. También en esta época de gloria de la matemática se desarrolló la teoría de optimización de funciones y se propusieron los criterios modernos para el cálculo de máximos, mínimos, la concavidad de funciones, los puntos de inflexión y el crecimiento de funciones definidas en intervalos.
Aunque los cálculos de Newton y de Leibniz, ambos empleaban los infinitésimos (cantidades infinitamente pequeñas) el cálculo de Newton, a diferencia del de Leibniz, se guiaba por dos "metáforas cinemáticas". Decía Newton que los problemas centrales que le movían a desarrollar su teoría de fluxiones eran dos: la determinación de la trayectoria de un móvil cuya velocidad se conocía en cada instante (problema de la integral) y la determinación de la velocidad de un móvil cuando se conoce la posición del mismo en cada instante de su movimiento. Leinbiz, a cambio, empleó los infinitésimos constantemente, y a pesar de entender a cabalidad las limitaciones lógicas de su empleo, siempre manifestó su deseo de que se siguieran empleando en los razonamientos del cálculo ya que en algún momento tales dificultades serían superadas. Leibniz nunca pudo imaginar, desde luego, el gran drama que significaría para la historia de la matemática la dilucidación de tales dificultades.
Es curioso que todo esta profusión de conocimiento se logró sin que se tuviese una idea clara de lo que es un número real. Es importante señalar que desde los comienzos del cálculo en el siglo XVII (se dice que ya Newton trabajaba en su cálculo, llamado teoría de fluxiones, desde el año 1666 y Leibniz, trabajó independientemente en el suyo en 1675, aunque ambos publicaron sus resultados décadas más tarde) hasta que se formulan los primeros resultados de Bolzano y Cauchy respecto a la estructura moderna de los números reales alrededor del 1821, transcurrió más de un siglo. Valga decir que el trabajo matemático de Bolzano y de Cauchy fue el resultado de las incertidumbres que surgieron en la presentación de los resultados del cálclulo de Newton y Leibniz en términos de los famosos infinitésimos, tan criticados por el obispo George Berkeley en la misma época de Newton y Leibniz. Luego del trabajo de Cauchy, Bozano y otros matemáticos como Cantor, Weierstrass Dedeking, Méray y Heine, el cálculo quedó cimentado sobre las bases lógicas que lo caracterizan hoy día.
Sin embargo, en el siglo XX, el matemático alemán norteamericano de la Universidad de Yale, Abraham Robinson (Octubre 6, 1918 -Abril 11, 1974) inventó un sistema numérico nuevo, llamado el sistema de los números hiperreales, en el cual coexisten los números reales de Cauchy y Bolzano con los infinitésimos de Newton y Leibniz. Esta rama de la matemática se conoce como el análsis no-estándar, y a partir del establecimiento de esta discilplina, los números reales se han pasasdo a conocer como los números estándar del sistema de los números hiperreales. Una de las grandes ventajas que nos proporciona el formalismo de Robinson es, entre otras, que nos permite presentar los razonamientos de Newton, Leibniz y el resto de los desarrolladores del cálculo empleando infinitésimos, de suerte que los argumentos son correctos y fieles a las intuiciones matemáticas del siglo XVII. Hoy día podemos dar una lectura al trabajo de Euler mientras enmarcamos sus argumentos en un formalismo lógico robusto y, sobre todo, correcto.
Por todo lo expuesto anteriormente, se podrían esgrimir argumentos muy efectivos para sostener que los infinitésimos constituyen un vehículo conoscitivo para el desarrollo del cálculo que tiene ventajas evidentes y que permite la visualización de las ideas del cálculo con una gran claridad. Esta es, a nuestro juicio, la gran lección a derivar del la historia del cálculo. En este esfuerzo enmarcaremos el desarrollo de este seminario.
O. Hernández y J.M. López, agosto 12, 2009 en San Juan de Puerto Rico
